Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\cot (x)}}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Etapa 1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 1.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.1.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 2.1.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (4 x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.6.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.7

Combine $\cos (4 x)$ e $\frac{1}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.9

Combine $4$ e $\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.11

Multiplique $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 2.3.12

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ por $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.9

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.10

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (0)) \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + 0) \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.2.3

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{1}{1 \sec^{2} (0)}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $\sec^{2} (0)$ por $1$ .

$4 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 5.2.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 5.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$