Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 \sec (0) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \sec (x) - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sec (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Some $8 \sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{2 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $8 \sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 (x)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5.2

Multiplique $\tan (0)$ por $1$ .

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$4 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4.2

Some $1$ e $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Some $1$ e $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Reordene os termos.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{1}$

Etapa 3.4

Divida $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ por $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Etapa 4.3

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$4 ({(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Etapa 4.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Etapa 4.6

Mova o expoente $3$ de $\sec^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3})$

Etapa 4.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$4 (0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Etapa 6.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 (0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Etapa 6.1.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$4 (0 \cdot 1 + \sec^{3} (0))$

Etapa 6.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$4 (0 + \sec^{3} (0))$

Etapa 6.1.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$4 (0 + 1^{3})$

Etapa 6.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (0 + 1)$

Etapa 6.2

Some $0$ e $1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$