Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Avalie o limite de $\arctan (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\arctan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.5.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.5.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite de $1 - (1 + x^{2})$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot 0^{2}}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 1) \cdot 0^{2}}$

Etapa 3.1.3.7.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0^{2}}$

Etapa 3.1.3.7.3

Multiplique $0^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 3.1.3.7.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - (1 + x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 + x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \cdot 2 x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 \cdot (x^{2} + 1) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Etapa 3.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + 0)}$

Etapa 3.3.12

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} \cdot 2 x}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.13.1

Mova $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.13.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.13.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.13.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1 + 2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.13.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{3} \cdot 2}$

Etapa 3.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot x^{3}}$

Etapa 3.3.15

Simplifique.

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Etapa 3.3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.15.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1} x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}$

Etapa 3.3.15.3.5

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 x^{3} + 2 x}$

Etapa 4

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 5.1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 5.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 5.1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0}$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Etapa 5.1.3.6.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Etapa 5.1.3.6.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 5.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 5.3.4.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 5.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 6.4

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 6.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 6.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Etapa 8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Etapa 8.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0 + 2}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 2}$

Etapa 8.3.3

Some $0$ e $2$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3}$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$