Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

Etapa 1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \cot (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Reescreva $\sec (2 \cdot 0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Etapa 9.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ .

$1 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 9.3

Multiplique $\cos (2 \cdot 0)$ por $1$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Etapa 9.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\cos (0)$

Etapa 9.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$