Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Etapa 3

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $π$ e $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Etapa 7.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 7.2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 7.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Etapa 7.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no primeiro quadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 7.2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.5

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.2.4.5.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 7.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 7.2.4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.2.4.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.4.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.2.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 7.3.3

Reescreva a expressão.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$3.06146745 \dots$