Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})}$

Etapa 9.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 9.2.4

Reescreva $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 9.2.4.1

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 9.2.4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.2.4.2.1

Reduza a expressão $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 9.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Etapa 9.2.4.2.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3

Divida $0$ por $\sqrt{2}$ .

$0$