Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x \cdot \frac{2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Etapa 1.2

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (π - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{π - π}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{2 \cdot x - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{2 x - π}{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x - π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x - π}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.10

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.11

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.13

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.14.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.14.2

Divida $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.16

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.16.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.16.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.16.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.17

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + 0}$

Etapa 2.3.18

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$

Etapa 3.2

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec (\frac{2 x - π}{2}))}^{2}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{2})$

Etapa 3.4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π)$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (π - π))$

Etapa 5.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (0)$

Etapa 5.4

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Etapa 5.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$