Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Etapa 1.2

Reescreva $\tan (4 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Etapa 1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Converta de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ em $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 1.4.2

Converta de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ em $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Etapa 4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Etapa 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Etapa 6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.2

Cancele o fator comum.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8.1.3

Reescreva a expressão.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Etapa 8.4

Combine $5$ e $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Etapa 8.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Etapa 8.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 \cdot 0$

Etapa 8.7

Multiplique $0$ por $0$ .

$0$