Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Etapa 2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Etapa 3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Etapa 5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $- \frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Etapa 9.2.2

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

Etapa 9.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

Etapa 9.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

Etapa 9.2.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{- π - 0}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{- π + 0}$

Etapa 9.2.7

Some $- π$ e $0$ .

$\frac{1}{- π}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 9.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

Etapa 9.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{π}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{π}$

Forma decimal:

$- 0.31830988 \dots$