Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (x)}{10 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{10}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{10} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (x)}{x}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{10} ((1 - \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π})$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{1}{10} ((1 - 0) \frac{2}{π})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{10} ((1 + 0) \frac{2}{π})$

Etapa 7.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{10} (1 \frac{2}{π})$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{1}{2 (5)} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 7.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 7.6

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{5 π}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{5 π}$

Forma decimal:

$0.06366197 \dots$