Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Etapa 10

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Etapa 11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Etapa 12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{6}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Etapa 13.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Etapa 13.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 + 1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.7

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{3}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 - 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.1.11.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Etapa 14.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 14.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{- 3}{2} + 1}$

Etapa 14.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2} + 1}$

Etapa 14.2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 1}$

Etapa 14.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 - 3}{2} + 1}$

Etapa 14.2.8

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + 1}$

Etapa 14.2.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + \frac{2}{2}}$

Etapa 14.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1 + 2}{2}}$

Etapa 14.2.11

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $\frac{1}{2}$ .

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Etapa 14.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 14.3.2

Reescreva a expressão.

$1$