Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Etapa 2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Etapa 3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $\frac{x}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{x}{2}$ por $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{x}{2}$ por $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $\tan (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Etapa 6.2

Combine $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ e $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

Etapa 6.3

Separe as frações.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Etapa 6.4

Converta de $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ em $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

Etapa 6.5

Divida $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ por $1$ .

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$