Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 lim_{x \to 8} \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 12

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - lim_{x \to 8} x}$

Etapa 13.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 64 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.3

Multiplique $4$ por $64$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{4 (2)}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 (2 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.7

Subtraia $8$ de $256$ .

$\frac{16 - \sqrt{248 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.8

Reescreva $248 + 4 \sqrt{2}$ como $2^{2} (62 + \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.8.1

Fatore $4$ de $248$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.8.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.8.3

Fatore $4$ de $4 (62) + 4 (\sqrt{2})$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.8.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{2^{2} (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 - (2 \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.1.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{4 (2)} - 8}$

Etapa 14.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 8}$

Etapa 14.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Etapa 14.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ e $4 \sqrt{2} - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (8) - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Etapa 14.3.2

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Etapa 14.3.3

Fatore $2$ de $2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Etapa 14.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.4.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Etapa 14.3.4.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) + 2 \cdot - 4}$

Etapa 14.3.4.3

Fatore $2$ de $2 (2 \sqrt{2}) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Etapa 14.3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Etapa 14.3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ por $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4} \cdot \frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$

Etapa 14.5

Multiplique $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ por $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{(2 \sqrt{2} - 4) (2 \sqrt{2} + 4)}$

Etapa 14.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{4 {\sqrt{2}}^{2} + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16}$

Etapa 14.7

Simplifique.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{- 8}$

Etapa 14.8

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} + 4$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.8.1

Fatore $2$ de $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)$ .

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{- 8}$

Etapa 14.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.8.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 (- 4)}$

Etapa 14.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 \cdot - 4}$

Etapa 14.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Etapa 14.9

Expanda $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (\sqrt{2} + 2) - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Etapa 14.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Etapa 14.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Etapa 14.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.10.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Etapa 14.10.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Etapa 14.10.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{- 4}$

Etapa 14.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.03132183 \dots$