Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$ como $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})$ movendo $x + 3$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{(x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} (x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x + 3 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x - 1})}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Some $8$ e $3$ .

$e^{11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Etapa 4.2

Simplifique $11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})$ movendo $11$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11})}$

Etapa 4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${(\frac{8 - 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $4$ de $8$ .

${(\frac{4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Etapa 4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(\frac{4}{8 - 1})}^{11}$

Etapa 4.5.2

Subtraia $1$ de $8$ .

${(\frac{4}{7})}^{11}$

Etapa 4.6

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{11}}{7^{11}}$

Etapa 4.7

Eleve $4$ à potência de $11$ .

$\frac{4194304}{7^{11}}$

Etapa 4.8

Eleve $7$ à potência de $11$ .

$\frac{4194304}{1977326743}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4194304}{1977326743}$

Forma decimal:

$0.00212119 \dots$