Cálculo Exemplos

$\frac{x - x^{2}}{2 - 3 x + x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - x^{2}$ e $g (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - (2 x)) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Expanda $(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.5.1

Mova $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} x + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.9.1

Mova $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.9.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{1 + 2} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.9.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Subtraia $3 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 - 7 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Some $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + 1 x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.6

Expanda $(- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x (- 3 + 2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.7.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.5

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{2} x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.7.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.7.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2} + 0}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 7 x$ e $3 x$ .

$\frac{2 + 7 x^{2} - 4 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $5 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{2 + 2 x^{2} - 4 x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 3.5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 2) (x - 1))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Aplique a regra do produto a $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$