Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Mova o expoente $3$ de $\sin^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 1.3.6.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.6.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0^{2} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.6.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.6.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.2.6.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (0)}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Etapa 3.1.3.6.1.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Etapa 3.1.3.6.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 3.1.3.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1

Mova $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Some $1$ e $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.9

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.11

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.13

Some $1$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.14

Reordene os termos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.16

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.17

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.3.17.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.17.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.3.17.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.3.17.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.3.17.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 3.3.17.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Etapa 3.3.17.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}$

Etapa 3.3.17.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}$

Etapa 3.3.17.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}$

Etapa 3.3.17.7

Some $1$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 3.3.17.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 3.3.18

Reordene os termos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.7

Mova o expoente $3$ de $\sin^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \frac{2 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 \frac{2 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \frac{2 \cdot 0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 \frac{0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.1.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.2.10.2

Some $0$ e $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{0}{- 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 4.1.3.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1.3.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.9.1.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9.1.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 0 - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9.1.5

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$3 \frac{0}{0 - \sin (0)}$

Etapa 4.1.3.9.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0}{0 - 0}$

Etapa 4.1.3.9.1.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Etapa 4.1.3.9.2

Some $0$ e $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.9.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 4.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 4.3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.6

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.3.6.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 4.3.3.6.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.6.2

Some $2$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot - 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.3.11

Some $1$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

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Etapa 4.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.4.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) + 2 \cdot - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.5.2.2

Reordene os fatores de $- 4 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.5.2.3

Subtraia $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 7 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.5.3

Reordene os termos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Etapa 4.3.7.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 4.3.7.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.6

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.7.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.6.2

Some $2$ e $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.7

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.8

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.10

Some $1$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.11

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.12

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.7.14

Some $1$ e $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 4.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 4.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 4.3.8.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

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Etapa 4.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 2 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.3

Reordene os termos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.9.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.6

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.7

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.8

Multiplique $- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Etapa 4.3.9.4.8.1

Multiplique $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.8.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.9.4.8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.8.2.2

Some $2$ e $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.9

Mova $4$ para a esquerda de $\sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.10

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.11

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.13

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{- 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4.3.9.4.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Etapa 4.4.2

Para escrever $- \cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 4.4.3

Combine $- \cos (x)$ e $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{- \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 4.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- lim_{x \to 0} 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.5

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{- 7 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.9

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.11

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.13

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.14

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.16

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.17

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.18

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.19

Mova o expoente $4$ de $\cos^{4} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.20

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Etapa 5.21

Mova o expoente $4$ de $\cos^{4} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

Etapa 5.22

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{\cos^{4} (0)}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1^{4}}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Etapa 7.3.5

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos^{4} (0)$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.5.1

Mova $\cos^{4} (0)$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos (0))})$

Etapa 7.3.5.2

Multiplique $\cos^{4} (0)$ por $\cos (0)$ .

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Etapa 7.3.5.2.1

Eleve $\cos (0)$ à potência de $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos^{1} (0))})$

Etapa 7.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - {\cos (0)}^{4 + 1}})$

Etapa 7.3.5.3

Some $4$ e $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos^{5} (0)})$

Etapa 7.3.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1^{5}})$

Etapa 7.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1 \cdot 1})$

Etapa 7.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1})$

Etapa 7.3.9

Subtraia $2$ de $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 2 - 1})$

Etapa 7.3.10

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.3

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$3 ((0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 ((0 \cdot 1 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$3 ((0 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$3 ((0 + 2 \cdot 1^{3}) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 ((0 + 2 \cdot 1) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.4.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 ((0 + 2) \frac{1}{- 3})$

Etapa 7.5

Some $0$ e $2$ .

$3 (2 (\frac{1}{- 3}))$

Etapa 7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (2 (- \frac{1}{3}))$

Etapa 7.7

Multiplique $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 7.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (- 2 (\frac{1}{3}))$

Etapa 7.7.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{- 2}{3})$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.8.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{- 2}{3})$

Etapa 7.8.2

Reescreva a expressão.

$- 2$