Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $\frac{3 π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{{(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{1 + 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1 + 4 (- 1 \cdot 1) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.7

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.1.2.8.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.7.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{3 π}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{0}{- \sin (\frac{π}{2}) + 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.6.3.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6.3.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6.3.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $\cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $\frac{3 π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.7.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.7.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (3 π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sin (π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin (0) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.1.7

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Etapa 2.1.3.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) + 4 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{- \sin (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Etapa 3.8

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}$

Etapa 3.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $\frac{3 π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cos (3 π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 \cos (π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{2 (- \cos (0)) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 5.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{- 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.8

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 5.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 - 4 \cdot - 1}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 4}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.1.9

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{2}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{2}{- - \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{2}{- (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{- - 1}$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 5.4

Divida $2$ por $1$ .

$2$