Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.2

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.10

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.11.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.11.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.11.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0 \cdot (6 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.2.11.4.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{0 \cdot (2 (3) \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{0 \cdot (3 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.5

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.4.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{3 + 1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.6

Some $3$ e $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{4}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.7

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.8

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.2.11.9

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 2.1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Etapa 2.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.3.7.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.7.1.5.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.7.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Etapa 2.1.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 2.1.3.7.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{2 x - 1}{2}$ e $g (x) = 6 x^{2} + x - 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 2] + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + 0) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.10

Some $12 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x - 1}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.15

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.16

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.17

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.18

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.19

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.19.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.19.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.20

Multiplique $6 x^{2} + x - 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x) + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.2.1

Combine $12$ e $\frac{2 x - 1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1)}{2} x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.2

Combine $\frac{12 (2 x - 1)}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.3

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.2.3.1

Fatore $2$ de $12 (2 x - 1) x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 (1)} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 \cdot 1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x}{1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.3.2.4

Divida $6 (2 x - 1) x$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.4

Multiplique $\frac{2 x - 1}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.5

Para escrever $6 (2 x - 1) x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.6

Combine $6 (2 x - 1) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2 + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.8

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.9

Para escrever $6 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.10

Combine $6 x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.12

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.13

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.14

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.16

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + 2 \cdot x}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.17

Some $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.18

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.19

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.21

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.2.22

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x + 12 x^{2} - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x - 1) + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.3

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.4.4.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.4.4.1.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 (x \cdot x) - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.4.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 24 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.5

Some $12 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.6

Some $- 12 x$ e $4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.4.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 36 \cdot - 5 = - 180$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 2.3.21.4.7.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 (x) - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7.1.2

Reescreva $- 8$ como $10$ mais $- 18$

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + (10 - 18) x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + 10 x - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.4.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(36 x^{2} + 10 x) - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x (18 x + 5) - (18 x + 5)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.21.4.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $18 x + 5$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Etapa 2.3.22

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.23

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.23.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.23.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.23.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.24

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.24.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.24.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.24.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 2.3.25

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + 0}$

Etapa 2.3.26

Some $8 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2} \cdot \frac{1}{8 x - 4}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}$ por $\frac{1}{8 x - 4}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2 (8 x - 4)}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} (18 x + 5) (2 x - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + 5 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o termo $18$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.8

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.1.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 (9) \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot 9 \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.2

Some $9$ e $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.2.9.5

Multiplique $14$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Etapa 4.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 (4) \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 4}$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 18 x + 5$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.8

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $18 x + 5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (18 x + 5) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.11

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.13

Multiplique $18$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.14

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + 0)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.15

Some $18$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.16

Mova $18$ para a esquerda de $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + 18 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

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Etapa 4.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.17.3.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3.4

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3.5

Some $36 x$ e $36 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x + 10 - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.17.3.6

Subtraia $18$ de $10$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Etapa 4.3.18

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.19

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.19.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.19.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.19.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.20

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + 0}$

Etapa 4.3.21

Some $8$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $72 x - 8$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $8$ de $72 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x - 8}{8}$

Etapa 4.4.2

Fatore $8$ de $- 8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x + 8 \cdot - 1}{8}$

Etapa 4.4.3

Fatore $8$ de $8 (9 x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8}$

Etapa 4.4.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.1

Fatore $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 (1)}$

Etapa 4.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 \cdot 1}$

Etapa 4.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{9 x - 1}{1}$

Etapa 4.4.4.4

Divida $9 x - 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - 1$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Etapa 5.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (9 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Combine $9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1)$

Etapa 7.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 7.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 2}{2}$

Etapa 7.5.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Etapa 7.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Etapa 7.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{4}$

Forma decimal:

$1.75$