Cálculo Exemplos

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ movendo $\cot (4 x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ substituindo $(\frac{π}{4})$ por $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por cada elemento da matriz.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.4

Reescreva $\cot ((π))$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.5

Remova os parênteses.

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.6

Remova os parênteses.

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.8.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.8.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 3.9

Como $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ substituindo $(\frac{π}{4})$ por $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por cada elemento da matriz.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.4

Reescreva $\cot ((π))$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.5

Remova os parênteses.

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Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.6

Remova os parênteses.

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Etapa 5.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.8.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.8.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Etapa 5.9

Como $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 6

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$