Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Etapa 2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ à potência de $1$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

Etapa 2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

Etapa 2.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 2.3.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 2.3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 2.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Etapa 2.3.5.5

Simplifique.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$