Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cot (2 x)}{\csc (x)}$

Etapa 1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (x)}$

Etapa 2

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

Etapa 2.4

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (x)$

Etapa 2.5.2

Converta de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ em $\cot (2 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (x)$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (2 x) \sin (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ - 0.1 & 0.4924937 \\ - 0.01 & 0.49992499 \\ - 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $\cot (2 x) \sin (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0.5$ .

$0.5$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (2 x) \sin (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (x) \\ 0.1 & 0.4924937 \\ 0.01 & 0.49992499 \\ 0.001 & 0.49999925 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $\cot (2 x) \sin (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $0.5$ .

$3 \cdot 0.5$

Etapa 9

Multiplique $3$ por $0.5$ .

$1.5$