Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 2^{3}}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x^{2}$ e $b = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 1.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt[3]{x^{6}} = x^{2} = - \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Etapa 3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Etapa 3.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Etapa 4

$- \infty$ não está no domínio de $\frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$ . Então, o limite não existe.

$Não existe$