Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 4)}^{2}}{{(5 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{{(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova o expoente $2$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 2.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o expoente $2$ de ${(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Etapa 4.6

Mova o termo $- 7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6.1.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4}{{(5 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$\frac{4}{{(5 + 0)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Some $5$ e $0$ .

$\frac{4}{5^{2}}$

Etapa 6.2.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{25}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4}{25}$

Forma decimal:

$0.16$