Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{3 - \sqrt{5 + x}}{2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{5 + x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 3 - lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 4} 5 + x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 4} 5 + lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{3 - \sqrt{5 + lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{5 + 4}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $5$ e $4$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{8 - x}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} 8 - x}}$

Etapa 1.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} 8 - lim_{x \to 4} x}}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{8 - lim_{x \to 4} x}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{8 - 4}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.2.1.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{3 - \sqrt{5 + x}}{2 - \sqrt{8 - x}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{5 + x}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{5 + x}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{5 + x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 + x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 + x}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 + x}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 + x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 + x}$ como ${(5 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(5 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(5 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 + x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 + x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + x])}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + x])}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 + x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + x])}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{{(5 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.14

Multiplique $\frac{{(5 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{{(5 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.4.15

Mova ${(5 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \sqrt{8 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{8 - x}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{8 - x}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{8 - x}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - x}$ como ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

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Etapa 1.3.8.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 - x])}$

Etapa 1.3.8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x])}$

Etapa 1.3.8.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x])}$

Etapa 1.3.8.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Etapa 1.3.8.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Etapa 1.3.8.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 1.3.8.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Etapa 1.3.8.14

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{1}{2} {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Etapa 1.3.8.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Etapa 1.3.8.16

Combine $\frac{{(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(8 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Etapa 1.3.8.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{- 1 \cdot {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.18

Reescreva $- 1 {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{- {(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.19

Mova ${(8 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{- 1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - - \frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + 1 \frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.22

Multiplique $\frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9

Some $0$ e $\frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{2 {(5 + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva ${(5 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5 + x}$ .

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{2 \sqrt{5 + x}} (2 {(8 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5.2

Reescreva ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{8 - x}$ .

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{2 \sqrt{5 + x}} (2 \sqrt{8 - x})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} - 2 \frac{1}{2 \sqrt{5 + x}} \sqrt{8 - x}$

Etapa 1.6.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 \sqrt{5 + x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2}{2 \sqrt{5 + x}} \sqrt{8 - x}$

Etapa 1.6.3

Combine $\frac{- 2}{2 \sqrt{5 + x}}$ e $\sqrt{8 - x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 \sqrt{8 - x}}{2 \sqrt{5 + x}}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{8 - x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- \sqrt{8 - x})}{2 \sqrt{5 + x}}$

Etapa 1.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{5 + x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- \sqrt{8 - x})}{2 (\sqrt{5 + x})}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- \sqrt{8 - x})}{2 \sqrt{5 + x}}$

Etapa 1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{- \sqrt{8 - x}}{\sqrt{5 + x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} - \sqrt{8 - x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 4} \sqrt{8 - x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}$

Etapa 2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to 4} 8 - x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to 4} 8 - lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{- \sqrt{8 - lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} \sqrt{5 + x}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{8 - lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} 5 + x}}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{- \sqrt{8 - lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{lim_{x \to 4} 5 + lim_{x \to 4} x}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{- \sqrt{8 - lim_{x \to 4} x}}{\sqrt{5 + lim_{x \to 4} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{- \sqrt{8 - 4}}{\sqrt{5 + lim_{x \to 4} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{- \sqrt{8 - 4}}{\sqrt{5 + 4}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{\sqrt{5 + 4}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5 + 4}}$

Etapa 4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1 \cdot 2}{\sqrt{5 + 4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Some $5$ e $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\sqrt{9}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1 \cdot 2}{3}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{3}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{6}$