Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 1

Avalie o limite de $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $7$ de $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $7$ como $1$ mais $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Etapa 2.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Etapa 2.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Etapa 2.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Etapa 2.4

Reduza a expressão $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Etapa 2.5

Reescreva $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ como $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Etapa 2.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Etapa 2.7.2

Eleve $\sqrt{2 y + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Etapa 2.7.3

Eleve $\sqrt{2 y + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Etapa 2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Etapa 2.7.6

Reescreva ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ como $2 y + 1$ .

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Etapa 2.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y + 1}$ como ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Etapa 2.7.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Etapa 2.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$