Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{4}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{4}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{4 x^{3}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0^{3}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{4 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Etapa 2.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{4 (3 x^{2})}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{12 x^{2}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 12 x^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{2}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0^{2}}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.3.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{12 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{12 (2 x)}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $12$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{24 x}$

Etapa 4

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$