Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 4.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Etapa 4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Etapa 4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Etapa 4.4.2

Mova $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Etapa 4.4.3

Eleve $\sqrt{x + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Etapa 4.4.4

Eleve $\sqrt{x + 2}$ à potência de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Etapa 4.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Etapa 4.4.7

Reescreva ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ como $x + 2$ .

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Etapa 4.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Etapa 4.4.7.5

Simplifique.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Etapa 4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Etapa 4.6

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$