Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite de $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - (x + 0)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 1 \cdot 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.4

Combine os termos opostos em $4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0 + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $0$ e $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.4.3

Subtraia $\sqrt{5 - x}$ de $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - (x + h)}$ como ${(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [{(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 5 - (x + h)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - (x + h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.4

Como $5$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $5$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (x + h)$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.7

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.14

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.16

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.17

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.18

Combine $\frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.19

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1 \cdot {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.20

Reescreva $- 1 {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.21

Mova ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Como $- (4 + \sqrt{5 - x})$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (4 + \sqrt{5 - x})$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.2.1

Subtraia $\frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.2.2

Some $- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{5 - x - h}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - x - h}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 2.9

Simplifique os termos.

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Etapa 2.9.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x + 0}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.9.2.1

Some $5 - x$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$

Etapa 2.9.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ por $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5 - x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}})$

Etapa 2.9.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.9.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ por $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x} \sqrt{5 - x}}$

Etapa 2.9.2.3.2

Eleve $\sqrt{5 - x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} \sqrt{5 - x}}$

Etapa 2.9.2.3.3

Eleve $\sqrt{5 - x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} {\sqrt{5 - x}}^{1}}$

Etapa 2.9.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.9.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{5 - x}}^{2}$ como $5 - x$ .

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Etapa 2.9.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - x}$ como ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.9.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.9.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.9.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{1}}$

Etapa 2.9.2.3.6.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$

Etapa 2.9.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{(5 - x) \cdot 2}$

Etapa 2.9.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $5 - x$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2 (5 - x)}$