Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (2 (4) - 10^{4})}{h}$

Etapa 1

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{2 (4 + 0) - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.3

Some $4$ e $0$ .

$\frac{8 - 10^{4} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.4

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.6.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 1 \cdot 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.7

Subtraia $10000$ de $8$ .

$\frac{8 - 10000 - - 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 9992$ .

$\frac{8 - 10000 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Subtraia $10000$ de $8$ .

$\frac{- 9992 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.4

Some $- 9992$ e $9992$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 1 \cdot 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

Subtraia $10000$ de $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 (4 + h)$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [4 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [4 + h] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.3

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 10^{4 + h}$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [10^{4 + h}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - \frac{d}{d h} [10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = 10^{h}$ e $g (h) = 4 + h$ .

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Etapa 2.3.6.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $10$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{u} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.4

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.6

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.7

Multiplique $10^{4 + h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- - 9992]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 9992$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.2

Como $9992$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $9992$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Some $2 - 10^{4 + h} \ln (10)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{1}$

Etapa 2.4

Divida $- 10^{4 + h} \ln (10) + 2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10^{4 + h} \ln (10) + 2$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10^{4 + h} \ln (10) + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 3.2

Mova o termo $\ln (10)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \ln (10) lim_{h \to 0} 10^{4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 3.3

Mova o limite para o expoente.

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + 2$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + 0} + 2$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Some $4$ e $0$ .

$- \ln (10) \cdot 10^{4} + 2$

Etapa 5.2

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$- \ln (10) \cdot 10000 + 2$

Etapa 5.3

Multiplique $10000$ por $- 1$ .

$- 10000 \ln (10) + 2$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 10000 \ln (10) + 2$

Forma decimal:

$- 23023.85092994 \dots$