Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{4}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4 + h} - lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{4 lim_{h \to 0} \sqrt{4 + h} - lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{4 \sqrt{lim_{h \to 0} 4 + h} - lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \sqrt{lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \sqrt{4 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $4 \sqrt{4}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4 \sqrt{4 + lim_{h \to 0} h} - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{4 \sqrt{4 + 0} - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{4} - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2^{2}} - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{4}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{2^{2}}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{8 - 4 \cdot 2}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.7

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{4}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{4}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{4}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h} - 4 \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h} - 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sqrt{4 + h} - 4 \cdot 2$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d h} [4 \sqrt{4 + h}]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + h}$ como ${(4 + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.2

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $h$ é $4 \frac{d}{d h} [{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{d}{d h} [{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 4 + h$ .

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Etapa 1.3.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.5

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{1}{2} {(4 + h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{{(4 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.14

Multiplique $\frac{{(4 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{{(4 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.15

Mova ${(4 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{1}{2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.16

Combine $4$ e $\frac{1}{2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{4}{2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.17

Fatore $2$ de $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.5.18.1

Fatore $2$ de $2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 + h)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.18.2

Cancele o fator comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.18.3

Reescreva a expressão.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [- 4 \cdot 2]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 8]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.2

Como $- 8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 8$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Simplifique.

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Etapa 1.3.7.1

Some $\frac{2}{{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(4 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{{(h + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(h + 4)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{h + 4}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{h + 4}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{h + 4}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{h + 4}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h + 4}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{h + 4}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} h + 4}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{0 + 4}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Some $0$ e $4$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$1$