Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} + 1 - (\frac{1}{x} + 1)}{h}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} + \frac{x + h}{x + h} - (\frac{1}{x} + 1)}{h}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + x + h}{x + h} - (\frac{1}{x} + 1)}{h}$

Etapa 1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + x + h}{x + h} - (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})}{h}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + x + h}{x + h} - \frac{1 + x}{x}}{h}$

Etapa 1.5

Para escrever $\frac{1 + x + h}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + x + h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1 + x}{x}}{h}$

Etapa 1.6

Para escrever $- \frac{1 + x}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 + x + h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 1.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.7.1

Multiplique $\frac{1 + x + h}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + x + h) x}{(x + h) x} - \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $\frac{1 + x}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + x + h) x}{(x + h) x} - \frac{(1 + x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.7.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + x + h) x}{x (x + h)} - \frac{(1 + x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{x (x + h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{x (x + h) h}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{x}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{(x + h) h}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} (1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} (1 + x + h) x - lim_{h \to 0} (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x lim_{h \to 0} 1 + x + h - lim_{h \to 0} (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} (1 + x) (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o termo $1 + x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + lim_{h \to 0} h) - (1 + x) lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + lim_{h \to 0} h) - (1 + x) (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.8

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + lim_{h \to 0} h) - (1 + x) (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1.2.9.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + 0) - (1 + x) (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.9.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x + 0) - (1 + x) (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.10

Combine os termos opostos em $x (1 + x + 0) - (1 + x) (x + 0)$ .

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Etapa 3.1.2.10.1

Some $1 + x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x) - (1 + x) (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.10.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x) - (1 + x) x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.10.3

Reorganize os fatores nos termos $x (1 + x)$ e $- (1 + x) x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (1 + x) - x (1 + x)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.2.10.4

Subtraia $x (1 + x)$ de $x (1 + x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.5.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $x$ por $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(1 + x + h) x - (1 + x) (x + h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [(1 + x + h) x] + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + x + h) x] + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [(1 + x + h) x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $(1 + x + h) x$ em relação a $h$ é $x \frac{d}{d h} [1 + x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x \frac{d}{d h} [1 + x + h] + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x (0 + \frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.4

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x (0 + 0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x (0 + 0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.6

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.7

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x + \frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- (1 + x) (x + h)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- (1 + x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (1 + x) (x + h)$ em relação a $h$ é $- (1 + x) \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x) \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4.3

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x) (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x) \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (1 + x)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - 1 \cdot 1 - x}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - 1 - x}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.5.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.5.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ é $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , em que $f (h) = x + h$ e $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $x + h$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Etapa 3.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 3.3.10

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 3.3.11

Some $0$ e $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \cdot 1}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h}$

Etapa 3.3.14

Some $h$ e $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + 2 h}$

Etapa 3.3.15

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{2 h + x}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

Etapa 4.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

Etapa 5

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + x}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{0 + x}$

Etapa 6.1.2

Some $0$ e $x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

Etapa 6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.4

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Etapa 6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Etapa 6.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$