Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ como $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ .

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ movendo $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ para fora do logaritmo.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $4$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $\frac{3}{2}$ de ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $4$ .

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $4$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Etapa 2.9

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $4$ por $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $4$ por $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $4$ por $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.2

Subtraia $12$ de $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.3

Some $4$ e $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4

Multiplique $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 4.4.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.2.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Etapa 4.4.6

Some $2$ e $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Forma decimal:

$1.7624831 \cdot 10^{27}$