Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{\ln (n)}}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva $n^{\frac{1}{\ln (n)}}$ como $e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})}}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (n^{\frac{1}{\ln (n)}})$ movendo $\frac{1}{\ln (n)}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \ln (n)}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{\ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} \ln (n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Etapa 3.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Etapa 3.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (lim_{n \to 8} n)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $\ln (8)$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{\ln (8)} \cdot \ln (8)}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{1}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$\frac{1}{e}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{e}$

Forma decimal:

$0.36787944 \dots$