Cálculo Exemplos

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Cancele o fator comum de ${(k + 1)}^{k + 1}$ e $k + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $k + 1$ de ${(k + 1)}^{k + 1}$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $k + 1$ de $(k + 1) i$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 1.3

Mova o termo $\frac{1}{i}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $k$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(k + 1)}^{k}$ como $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(k + 1)}^{k})$ movendo $k$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $k$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Etapa 3.6

Mova o termo $i$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $k$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

Etapa 3.7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

Etapa 4

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $k^{k}$ como $e^{\ln (k^{k})}$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

Etapa 4.2

Expanda $\ln (k^{k})$ movendo $k$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

Etapa 5.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $e^{8 \cdot \ln (8)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $e^{8 \cdot \ln (8)}$ de $\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i$ .

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i \cdot 8$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{i}$ e $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i} \cdot i \cdot 8$

Etapa 7.3

Combine $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i}$ e $i$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i} \cdot 8$

Etapa 7.4

Combine $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i}$ e $8$ .

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

Etapa 7.5.2

Divida $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$ por $1$ .

$e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$

Etapa 7.6

Some $8$ e $1$ .

$e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)} \cdot 8$

Etapa 7.7

Mova $8$ para a esquerda de $e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$ .

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

Forma decimal:

$20.52627611 \dots$