Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 8}}{\frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 1.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 1.5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} {(n + 8)}^{n + 1}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(n + 8)}^{n + 1}$ como $e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(n + 8)}^{n + 1})$ movendo $n + 1$ para fora do logaritmo.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{(n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} (n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.9

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 3.11

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Etapa 4

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(n + 7)}^{n}$ como $e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}}}}$

Etapa 4.2

Expanda $\ln ({(n + 7)}^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n + 7)}}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n + 7)}}}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 7)}}}}$

Etapa 5.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7)}}}}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Etapa 6.6

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{3^{8 + 8}}{\frac{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3^{8 + 8} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.2

Some $8$ e $8$ .

$3^{16} \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.3

Eleve $3$ à potência de $16$ .

$43046721 \frac{\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}}}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$43046721 (\frac{3^{8 + 1}}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}} \cdot \frac{1}{e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}})$

Etapa 7.5

Combine.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7)} e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.6

Multiplique $e^{8 \cdot \ln (8 + 7)}$ por $e^{(8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (8 + 7) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.6.2

Some $8$ e $7$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + (8 + 1) \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.6.3

Some $8$ e $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (8 + 8)}}$

Etapa 7.6.4

Some $8$ e $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{8 \cdot \ln (15) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Etapa 7.6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.5.1

Simplifique $8 \ln (15)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (15^{8}) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Etapa 7.6.5.2

Eleve $15$ à potência de $8$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + 9 \cdot \ln (16)}}$

Etapa 7.6.5.3

Simplifique $9 \ln (16)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (16^{9})}}$

Etapa 7.6.5.4

Eleve $16$ à potência de $9$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625) + \ln (68719476736)}}$

Etapa 7.6.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (2562890625 \cdot 68719476736)}}$

Etapa 7.6.7

Multiplique $2562890625$ por $68719476736$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1} \cdot 1}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Etapa 7.7

Multiplique $3^{8 + 1}$ por $1$ .

$43046721 \frac{3^{8 + 1}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Etapa 7.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.8.1

Some $8$ e $1$ .

$43046721 \frac{3^{9}}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Etapa 7.8.2

Eleve $3$ à potência de $9$ .

$43046721 \frac{19683}{e^{\ln (176120502681600000000)}}$

Etapa 7.9

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$43046721 (\frac{19683}{176120502681600000000})$

Etapa 7.10

Cancele o fator comum de $6561$ .

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Etapa 7.10.1

Fatore $6561$ de $43046721$ .

$6561 (6561) \frac{19683}{176120502681600000000}$

Etapa 7.10.2

Fatore $6561$ de $176120502681600000000$ .

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Etapa 7.10.3

Cancele o fator comum.

$6561 \cdot 6561 \frac{19683}{6561 \cdot 26843545600000000}$

Etapa 7.10.4

Reescreva a expressão.

$6561 (\frac{19683}{26843545600000000})$

Etapa 7.11

Combine $6561$ e $\frac{19683}{26843545600000000}$ .

$\frac{6561 \cdot 19683}{26843545600000000}$

Etapa 7.12

Multiplique $6561$ por $19683$ .

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{129140163}{26843545600000000}$

Forma decimal:

$4.81084596 \cdot 10^{- 9}$