Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Etapa 2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Etapa 3

Combine os termos.

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Etapa 3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Etapa 4

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ como $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Etapa 4.2

Expanda $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Etapa 5.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Some $8$ e $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Simplifique $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Etapa 7.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Etapa 7.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Etapa 7.2.4

Eleve $9$ à potência de $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Etapa 7.2.5

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{16777216}{43046721}$ por $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16777216}{43046721}$

Forma decimal:

$0.38974434 \dots$