Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Etapa 8

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Etapa 10

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Etapa 11

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Etapa 14.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Etapa 14.4

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.1

Some $8$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 15.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Some $8$ e $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

Etapa 15.2.2

Some $8$ e $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

Etapa 15.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

Etapa 15.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

Etapa 15.2.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ por $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ por $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

Etapa 15.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

Etapa 15.6

Simplifique.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

Etapa 15.7

Divida $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ por $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

Etapa 15.8

Expanda $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Etapa 15.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Etapa 15.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.9.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.2

Multiplique $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.9.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.2.2

Multiplique $10$ por $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.3

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.9.3.1

Fatore $4$ de $20$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Etapa 15.9.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.05727969 \dots$