Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} {(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{6 n}{6 n + 5})}^{2 n + 1})$ movendo $2 n + 1$ para fora do logaritmo.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n + 1) \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n + 1) \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} 2 n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{6 n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.7

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 lim_{n \to 8} \frac{n}{6 n + 5})}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 6 n + 5})}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 6 n + lim_{n \to 8} 5})}$

Etapa 2.10

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5})}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{lim_{n \to 8} n}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 lim_{n \to 8} n + 5})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4.2

Some $16$ e $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4.3

Simplifique $17 \cdot \ln (6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})$ movendo $17$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Etapa 4.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(6 \frac{8}{6 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Etapa 4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $6$ por $8$ .

${(6 \frac{8}{48 + 5})}^{17}$

Etapa 4.5.2

Some $48$ e $5$ .

${(6 (\frac{8}{53}))}^{17}$

Etapa 4.6

Multiplique $6 (\frac{8}{53})$ .

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Etapa 4.6.1

Combine $6$ e $\frac{8}{53}$ .

${(\frac{6 \cdot 8}{53})}^{17}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $6$ por $8$ .

${(\frac{48}{53})}^{17}$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $\frac{48}{53}$ .

$\frac{48^{17}}{53^{17}}$

Etapa 4.8

Eleve $48$ à potência de $17$ .

$\frac{38115448583970200000000000000}{53^{17}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{38115448583970200000000000000}{53^{17}}$

Forma decimal:

$0.18552876 \dots$