Cálculo Exemplos

$lim_{n \to 8} {(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})$ movendo $2 n^{2} + 1$ para fora do logaritmo.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $n^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.7

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Etapa 2.10

Mova o expoente $2$ de $n^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Etapa 2.13

Mova o expoente $2$ de $n^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Etapa 2.14

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $8$ por $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e^{(2 \cdot 64 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$e^{(128 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 4.2

Some $128$ e $1$ .

$e^{129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Etapa 4.3

Simplifique $129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})$ movendo $129$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129})}$

Etapa 4.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

${(\frac{64 + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Etapa 4.5.2

Some $64$ e $2$ .

${(\frac{66}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

${(\frac{66}{64 - 1 \cdot 3})}^{129}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

${(\frac{66}{64 - 3})}^{129}$

Etapa 4.6.3

Subtraia $3$ de $64$ .

${(\frac{66}{61})}^{129}$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $\frac{66}{61}$ .

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Forma decimal:

$25919.04337747 \dots$