Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Etapa 1

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Etapa 2.1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 + 3 e^{x}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Etapa 2.3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Etapa 2.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \cdot 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 2.3.8

Combine $3$ e $\frac{1}{2 + 3 e^{x}}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} e^{x}}$

Etapa 2.3.10

Combine $\frac{3}{2 + 3 e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{2 + 3 e^{x}}}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{3 e^{x} + 2}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$6 lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$ por $1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.2.2

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $3$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $3$ removido.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.2.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.2.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 4.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{x} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Etapa 4.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.5

Some $3 e^{x}$ e $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 4.4.2

Divida $3$ por $1$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} 3$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \cdot 3$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \cdot 3$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 3$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$