Cálculo Exemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Etapa 1.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Etapa 1.1.3

À medida que $n$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Etapa 1.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{n}$ como $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Etapa 1.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 1.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 1.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Etapa 1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.10.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $n^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Etapa 2

Como a função $\sqrt{n}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Etapa 2.2

À medida que $n$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\infty$