Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 6

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{27 - 27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.6

Subtraia $27$ de $27$ .

$\frac{0 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.7

Some $0$ e $12$ .

$\frac{12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.1.8

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{0}{(x^{4} - 3 x^{3}) + x - 3}$

Etapa 8.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{0}{x^{3} (x - 3) + 1 (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1)}$

Etapa 8.2.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1^{3})}$

Etapa 8.2.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

Etapa 8.2.5

Simplifique.

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Etapa 8.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

Etapa 8.2.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

$\frac{0}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 8.3

Divida $0$ por $(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$0$