Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2^{1 + 3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{\sqrt{2^{4} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.3

Some $16$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 3.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.3.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Etapa 3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 3.3.6.5

Simplifique.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 \sqrt{(x^{2} + 1) \cdot 5}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.5

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{5 (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$