Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 9

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

Etapa 10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4 + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 12}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.7

Some $4$ e $12$ .

$\frac{2 - \sqrt{16}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.8

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{4^{2}}}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 - 4}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.1.11

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 4}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 11.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 11.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{(x + 2) (x - 2)}$