Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 - \cos (x))}^{x}$ como $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

Etapa 3

Reescreva $x \ln (1 - \cos (x))$ como $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 5

Avalie o valor crítico esquerdo.

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Etapa 5.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado esquerdo, $\ln (1 - \cos (x))$ diminui sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 5.1.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do menos infinito.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Etapa 5.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Etapa 5.1.2

Como $\frac{- \infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 5.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.9

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.10

Combine $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 5.1.3.11

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 5.1.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 5.1.3.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 5.1.5

Combine $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.1.6

Reordene os fatores em $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.3.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1.2.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.2.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

Etapa 5.3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Etapa 5.3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 5.3.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Etapa 5.3.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 5.3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 5.3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 5.3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 5.3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 5.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.5

Reordene os termos.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 5.3.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Etapa 5.3.3.8.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Etapa 5.3.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Etapa 5.3.3.8.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Etapa 5.3.3.9

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 5.4

Como $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ e $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , aplique o teorema do confronto.

$e^{- 0}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 6

Determine o limite como um valor crítico direito.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 7

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 7.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 7.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 7.1.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (1 - \cos (x))$ diminui sem limites.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 7.1.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 7.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Etapa 7.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 7.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 7.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Etapa 7.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.9

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.10

Combine $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 7.1.3.11

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 7.1.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 7.1.3.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 7.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 7.1.5

Combine $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.1.6

Reordene os fatores em $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 7.3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.3.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1.2.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.2.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 7.3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 7.3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Etapa 7.3.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Etapa 7.3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Etapa 7.3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 7.3.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Etapa 7.3.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 7.3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 7.3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 7.3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{- \frac{0}{0}}$

Etapa 7.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 7.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 7.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.5

Reordene os termos.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 7.3.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Etapa 7.3.3.8.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Etapa 7.3.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Etapa 7.3.3.8.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Etapa 7.3.3.9

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 7.4

Como $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ e $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , aplique o teorema do confronto.

$e^{- 0}$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$