Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $x \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Etapa 9.2

Separe as frações.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Etapa 9.3

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 9.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Etapa 9.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Etapa 9.6

Combine $\frac{2}{x}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$