Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.4

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.7

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.9

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.11.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.1.12

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Etapa 7.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 7.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Etapa 7.3

Divida $0$ por $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$