Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})$ movendo $\cot (3 x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \sec (3 \frac{π}{2}))}$

Etapa 3.2

Reescreva $\sec (3 \frac{π}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (3 \frac{π}{2})})}$

Etapa 3.3

Combine $3$ e $\frac{π}{2}$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{3 π}{2})})}$

Etapa 3.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Etapa 3.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$

Etapa 3.6

Como $e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Etapa 5

Avalie o valor crítico direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

Etapa 5.2

Reescreva $\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))$ como $\frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Etapa 5.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \ln (1 + \sec (3 x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Etapa 5.3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

Etapa 5.3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Aplique identidades trigonométricas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Reescreva $\cot (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}}}$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}}$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (3 x)}}$

Etapa 5.3.1.3.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $\frac{π}{2}$ a partir da direita, os valores da função diminuem sem limites.

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Etapa 5.3.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Etapa 5.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

Etapa 5.3.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}$

Etapa 5.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \sec (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (3 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.6.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.7

Combine $\sec (3 x)$ e $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.8

Combine $\tan (3 x)$ e $\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.10

Combine $3$ e $\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.12

Multiplique $\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.13.1.1

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.2

Combine $3$ e $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.3

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.13.1.4.1

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ por $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4.2

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4.3

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.13.2.1

Reescreva $\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}$ como um produto.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{1}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.13.2.2

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$ por $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.14

Reescreva $\cot (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]}}$

Etapa 5.3.3.15

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.16

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.17.1

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.17.2

Multiplique $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

Etapa 5.3.3.18

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.19

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.19.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.19.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.19.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.20

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.21

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.23

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.24

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.25

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.26

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.27

Mova $3$ para a esquerda de $\cos^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.28

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.28.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.28.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.28.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.29

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 1 \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.30

Multiplique $\sin (3 x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.31

Eleve $\sin (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.32

Eleve $\sin (3 x)$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.34

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.35

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.36

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.37

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.38

Mova $3$ para a esquerda de $\sin^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 3 \cdot \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.39.1

Fatore $3$ de $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39.2

Fatore $3$ de $3 \sin^{2} (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39.3

Fatore $3$ de $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39.4

Reorganize os termos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.3.39.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))} \cdot \frac{\cos^{2} (3 x)}{3}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}$ por $\frac{\cos^{2} (3 x)}{3}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

Etapa 5.3.6

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

Etapa 5.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

Etapa 5.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

Etapa 5.3.7

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \frac{1}{\cos (3 x)}}}$

Etapa 5.3.8

Converta de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ em $\sec (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

Etapa 5.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ se aproxima de $0$ .

$e^{0}$

Etapa 5.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$

Etapa 6

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$