Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{2 \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.8.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.7.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.7.3

Multiplique $\sin (3 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Etapa 2.1.3.7.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 2.1.3.7.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.7.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 3 x \cos (3 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x \cos (3 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.4.9

Multiplique $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 - 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (3 x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.7.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.8

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.9

Eleve $\cos (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.14

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.15

Mova $3$ para a esquerda de $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cdot \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Etapa 2.3.16

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.16.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.16.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.16.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.17

Eleve $\sin (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.18

Eleve $\sin (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.20

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 2.3.21

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.22

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.23

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1}$

Etapa 2.3.24

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)$ e $3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $3$ de $- 9 x \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 (1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.3

Fatore $3$ de $3 (- 3 x \sin (3 x)) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.4

Fatore $3$ de $3 \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.5

Fatore $3$ de $3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.6.1

Fatore $3$ de $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.6.2

Fatore $3$ de $- 3 \sin^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \cdot - 1 \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 2.4.6.3

Fatore $3$ de $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (- \sin^{2} (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Etapa 2.4.6.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Etapa 2.4.6.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.9

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.11

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (3 x))}^{2} - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.13

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Etapa 3.14

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}$

Etapa 3.15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 3.16

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.7

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1^{2} - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (0)}$

Etapa 5.2.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Etapa 5.2.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 + 0}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Etapa 5.3

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$1$