Cálculo Exemplos

$lim_{y \to 0} \frac{{(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{y}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{y \to 0} {(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite de ${(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)$ substituindo $0$ por $y$ .

$\frac{{(t + 0)}^{2} - 7 (t + 0) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.2

Combine os termos opostos em ${(t + 0)}^{2} - 7 (t + 0) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Some $t$ e $0$ .

$\frac{t^{2} - 7 (t + 0) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Some $t$ e $0$ .

$\frac{t^{2} - 7 t + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} - 7 t + 5 - t^{2} - (- 7 t) - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} - 7 t + 5 - t^{2} + 7 t - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{t^{2} - 7 t + 5 - t^{2} + 7 t - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.4

Combine os termos opostos em $t^{2} - 7 t + 5 - t^{2} + 7 t - 5$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Subtraia $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- 7 t + 5 + 0 + 7 t - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $- 7 t + 5$ e $0$ .

$\frac{- 7 t + 5 + 7 t - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.4.3

Some $- 7 t$ e $7 t$ .

$\frac{0 + 5 - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.4.4

Some $0$ e $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.2.4.5

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 0} y}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $y$ substituindo $0$ por $y$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{y \to 0} \frac{{(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)}{y} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [{(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [{(t + y)}^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(t + y)}^{2}$ como $(t + y) (t + y)$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [(t + y) (t + y) - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(t + y) (t + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t (t + y) + y (t + y) - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t \cdot t + t y + y (t + y) - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t \cdot t + t y + y t + y \cdot y - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t^{2} + t y + y t + y \cdot y - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t^{2} + t y + y t + y^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $t y$ e $y t$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Reordene $y$ e $t$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t^{2} + t y + t y + y^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $t y$ e $t y$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t^{2} + 2 t y + y^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 2 t y + y^{2} - 7 (t + y) + 5 - (t^{2} - 7 t + 5)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [2 t y] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [t^{2}] + \frac{d}{d y} [2 t y] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.6

Como $t^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $t^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d y} [2 t y] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d y} [2 t y]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $2 t$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 t y$ em relação a $y$ é $2 t \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y + \frac{d}{d y} [- 7 (t + y)] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d y} [- 7 (t + y)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 7 (t + y)$ em relação a $y$ é $- 7 \frac{d}{d y} [t + y]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 \frac{d}{d y} [t + y] + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [t] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 (\frac{d}{d y} [t] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9.3

Como $t$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $t$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 (0 + 1) + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.9.6

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 + \frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.10

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 + 0 + \frac{d}{d y} [- (t^{2} - 7 t + 5)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.11

Como $- (t^{2} - 7 t + 5)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (t^{2} - 7 t + 5)$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 2 t + 2 y - 7 + 0 + 0}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.12

Combine os termos.

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Etapa 1.3.12.1

Some $0$ e $2 t$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 t + 2 y - 7 + 0 + 0}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.12.2

Some $2 t + 2 y - 7$ e $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 t + 2 y - 7 + 0}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.12.3

Some $2 t + 2 y - 7$ e $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 t + 2 y - 7}{\frac{d}{d y} [y]}$

Etapa 1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 t + 2 y - 7}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 t + 2 y - 7$ por $1$ .

$lim_{y \to 0} 2 t + 2 y - 7$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $0$ .

$lim_{y \to 0} 2 t + lim_{y \to 0} 2 y - lim_{y \to 0} 7$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $2 t$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $0$ .

$2 t + lim_{y \to 0} 2 y - lim_{y \to 0} 7$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$2 t + 2 lim_{y \to 0} y - lim_{y \to 0} 7$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $0$ .

$2 t + 2 lim_{y \to 0} y - 1 \cdot 7$

Etapa 3

Avalie o limite de $y$ substituindo $0$ por $y$ .

$2 t + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 7$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 t + 0 - 1 \cdot 7$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$2 t + 0 - 7$

Etapa 4.2

Some $2 t$ e $0$ .

$2 t - 7$